Phát biểu

Nếu G {\displaystyle G} là nhóm hữu hạn có nhóm con chuẩn tắc H {\displaystyle H} , và P {\displaystyle P} là p-nhóm con Sylow của H {\displaystyle H} , thì

G = N G ( P ) H {\displaystyle G=N_{G}(P)H}

trong đó N G ( P ) {\displaystyle N_{G}(P)} ký hiệu nhóm chuẩn hóa của P {\displaystyle P} trong G {\displaystyle G} và N G ( P ) H {\displaystyle N_{G}(P)H} là tích các tập con của nhóm.

Chứng minh

Nhóm P {\displaystyle P} là p {\displaystyle p} -nhóm con Sylow của H {\displaystyle H} , do đó mọi p {\displaystyle p} -nhóm con Sylow của H {\displaystyle H} là liên hợp H {\displaystyle H} của P {\displaystyle P} , nghĩa là nó có dạng h − 1 P h {\displaystyle h^{-1}Ph} , với h ∈ H {\displaystyle h\in H} (xem định lý Sylow). Gọi g {\displaystyle g} là bất kỳ phần tử thuộc G {\displaystyle G} . Bởi H {\displaystyle H} chuẩn tắc trong G {\displaystyle G} , nên nhóm con g − 1 P g {\displaystyle g^{-1}Pg} nằm trong H {\displaystyle H} . Điều này nghĩa là g − 1 P g {\displaystyle g^{-1}Pg} là p {\displaystyle p} -nhóm con Sylow của H {\displaystyle H} . Từ trên, ta sẽ suy ra được rằng H {\displaystyle H} phải liên hợp với P {\displaystyle P} : nghĩa là cho h ∈ H {\displaystyle h\in H}

g − 1 P g = h − 1 P h {\displaystyle g^{-1}Pg=h^{-1}Ph} ,

và vì vậy

h g − 1 P g h − 1 = P {\displaystyle hg^{-1}Pgh^{-1}=P} .

nên,

g h − 1 ∈ N G ( P ) {\displaystyle gh^{-1}\in N_{G}(P)} ,

do đó g ∈ N G ( P ) H {\displaystyle g\in N_{G}(P)H} . Nhưng vì g ∈ G {\displaystyle g\in G} được chọn tùy ý, do đó G = H N G ( P ) = N G ( P ) H . ◻ {\displaystyle G=HN_{G}(P)=N_{G}(P)H.\,\,\square }